Ensembles finis Exemples

$5 x - 3 y + 4 z = 7$ , $5 x + 2 y - 2 z = 11$ , $20 x - 7 y + 10 z = 32$

Étape 1

Représentez le système d’équations dans le format de matrice.

$[\begin{array}{c} 5 & - 3 & 4 \\ 5 & 2 & - 2 \\ 20 & - 7 & 10 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 7 \\ 11 \\ 32 \end{array}]$

Étape 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 5 & - 3 & 4 \\ 5 & 2 & - 2 \\ 20 & - 7 & 10 \end{array}]$ .

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Étape 2.1

Write $[\begin{array}{c} 5 & - 3 & 4 \\ 5 & 2 & - 2 \\ 20 & - 7 & 10 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 5 & - 3 & 4 \\ 5 & 2 & - 2 \\ 20 & - 7 & 10 \end{array} |$

Étape 2.2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 2.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 2.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 2.2.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 2 \\ - 7 & 10 \end{array} |$

Étape 2.2.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$5 | \begin{array}{c} 2 & - 2 \\ - 7 & 10 \end{array} |$

Étape 2.2.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ 20 & 10 \end{array} |$

Étape 2.2.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ 20 & 10 \end{array} |$

Étape 2.2.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 2 \\ 20 & - 7 \end{array} |$

Étape 2.2.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 5 & 2 \\ 20 & - 7 \end{array} |$

Étape 2.2.9

Add the terms together.

$5 | \begin{array}{c} 2 & - 2 \\ - 7 & 10 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ 20 & 10 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 5 & 2 \\ 20 & - 7 \end{array} |$

Étape 2.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & - 2 \\ - 7 & 10 \end{array} |$ .

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Étape 2.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 (2 \cdot 10 - (- 7 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ 20 & 10 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 5 & 2 \\ 20 & - 7 \end{array} |$

Étape 2.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez $2$ par $10$ .

$5 (20 - (- 7 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ 20 & 10 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 5 & 2 \\ 20 & - 7 \end{array} |$

Étape 2.3.2.1.2

Multipliez $- (- 7 \cdot - 2)$ .

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Étape 2.3.2.1.2.1

Multipliez $- 7$ par $- 2$ .

$5 (20 - 1 \cdot 14) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ 20 & 10 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 5 & 2 \\ 20 & - 7 \end{array} |$

Étape 2.3.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $14$ .

$5 (20 - 14) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ 20 & 10 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 5 & 2 \\ 20 & - 7 \end{array} |$

Étape 2.3.2.2

Soustrayez $14$ de $20$ .

$5 \cdot 6 + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ 20 & 10 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 5 & 2 \\ 20 & - 7 \end{array} |$

Étape 2.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ 20 & 10 \end{array} |$ .

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Étape 2.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot 6 + 3 (5 \cdot 10 - 20 \cdot - 2) + 4 | \begin{array}{c} 5 & 2 \\ 20 & - 7 \end{array} |$

Étape 2.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Multipliez $5$ par $10$ .

$5 \cdot 6 + 3 (50 - 20 \cdot - 2) + 4 | \begin{array}{c} 5 & 2 \\ 20 & - 7 \end{array} |$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $- 20$ par $- 2$ .

$5 \cdot 6 + 3 (50 + 40) + 4 | \begin{array}{c} 5 & 2 \\ 20 & - 7 \end{array} |$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $50$ et $40$ .

$5 \cdot 6 + 3 \cdot 90 + 4 | \begin{array}{c} 5 & 2 \\ 20 & - 7 \end{array} |$

Étape 2.5

Évaluez $| \begin{array}{c} 5 & 2 \\ 20 & - 7 \end{array} |$ .

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Étape 2.5.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot 6 + 3 \cdot 90 + 4 (5 \cdot - 7 - 20 \cdot 2)$

Étape 2.5.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1.1

Multipliez $5$ par $- 7$ .

$5 \cdot 6 + 3 \cdot 90 + 4 (- 35 - 20 \cdot 2)$

Étape 2.5.2.1.2

Multipliez $- 20$ par $2$ .

$5 \cdot 6 + 3 \cdot 90 + 4 (- 35 - 40)$

Étape 2.5.2.2

Soustrayez $40$ de $- 35$ .

$5 \cdot 6 + 3 \cdot 90 + 4 \cdot - 75$

Étape 2.6

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.1.1

Multipliez $5$ par $6$ .

$30 + 3 \cdot 90 + 4 \cdot - 75$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $3$ par $90$ .

$30 + 270 + 4 \cdot - 75$

Étape 2.6.1.3

Multipliez $4$ par $- 75$ .

$30 + 270 - 300$

Étape 2.6.2

Additionnez $30$ et $270$ .

$300 - 300$

Étape 2.6.3

Soustrayez $300$ de $300$ .

$0$

$D = 0$

Étape 3

Since the determinant is $0$ , the system cannot be solved using Cramer's Rule.